环是带有第二个称之为乘法运算的加法阿贝尔群。两种运算之间的联系是分配律。采用第二章的结果，这一章很流畅。这是因为理想也是正规子群，环同态 也是群同态。我们不证明多项式环 是唯一分解整环，尽管用手头上的材料很容易证明。也不涉及素理想和极大理想，因为这些概念对于线性代数的展开不 是必要的。这些概念放在了附录里。由于布尔环在逻辑和计算机科学中的重要性， 本章包括了关于布尔环的一节。 假设R 是加法阿贝尔群， （联结加法和乘法的分配率） 有乘法恒等元，i.e.存在元素 。（乘法交换性质）定义 如果 3)满足，R说是一个环。如果另外第 4)被满足，R 称为 一个交换环。 数学中的简便交换环是整数环Z、有理数环Q，实数环R 和复数环C 个变量的多项式环。现在设R是任意一 矩阵的类。在下一章，矩阵的加法与乘法将被定义。在这些运算下， 是不是交换环，即使R是交换的。 下两个定理证明环乘法的性质如同你所希望的，留作习题。 定理 回忆：由于R是加法交换群，它在Z 上有纯量乘法（第页）。这个纯量乘法 可写在右边或着左边，i.e. 。下一个定理证明它与环乘法关系密切。定理 nmmb na ，也就是，用n作为纯量乘法与 用做环乘法是一样的。
当然，n 可能是0；尽管 ―――――――――单位――――――――――定义 不能是单位。1永远是单位。如果a是单位，则 的所有单位构成一个乘法群，记为 是一个单位，它一定有两边逆。只需有左逆和右逆，如同下面的定理所证明的。 定理 推论：逆是唯一的。 为了定义这两类环，我们首先考虑零因子概念。定义 叫做零因子，如果它不是零且存在非零元b ，使得 注意如果 是一个单位，它不可能是零因子。定理 是单位。定义 整环是一个交换环，如果 不是零因子。域是交换环使得，如果 是单位。换句话说，R是域，如果它是交换环，且它的非零因 子构成乘法群。 定理 一个域是整环。一个有限整环是域。 证明 域是整环，因为单位不是零因子。假设R 是有限整环辅助卡盟，且 bcad bd ac 。证明C是交换环且是一个域。注意 整数的概念在数学里是基本的。它导致一个美妙的理论，正象下面定理中所见到的。然而。基本理论不是完备的，直到环的乘积被定义（见第 国剩余定理）。由第页我们知道 是一个加法阿贝尔群。定理 成为一个交换环。证明 由于 bkal abkn ，乘法是定义良好的。环公理容易验证。 定理 的一个单位。证明 是等价的。回忆：如果b是整数， 3)的等价的。
因为每个都是在说存在整数b使得 推论如果 是素数。证明 我们已经知道1)和2)是等价的，因为 是有限的。假设3)是真的，则由前面的定理， 均是单位，因此2)是真的。假设 3)是不真的。则 ab 是零，从而1)是不真的。习题 对于 不是。证明 少有两个解（见第页上的第一个定理）。 的子环。子环没有起到类似子群的作用。这个用由理想起到。理想不是子环（除非它是整个环）。注意如果S 可能是R的一个单位但不是S 中的单位。注意Z 没有真子环。因此在环论以及群论中占有特殊地位。 ――――――――理想和商环―――――――― 环论中的理想扮演着类似正规子群在群论中的作用。 定义 的子集I是一个左（右、双边）理想，倘若它是加法群R 的子群，如 。词“理想”意思是“双边理想”。当然，如果R 是交换的。每个右或左理想均是理想。 定理 的右（左，双边）理想（见 如果aR 是右理想。因此，如果R是交换的，aR是理想，叫做主理 想。因此证明布尔环是可换环，Z 的每个子环是主理想，因为它形如nZ 5)如果R是交换环， 含有1。习题 不含有真理想。下面的定理恰是一个观察，但它在某个意义下环论的开始。 定理 。由于I是加法群的正规子群， 是一个加法阿贝尔群。
